الرئيسية
مقاييس النزعة المركزية
يمكن تعريف الإحصاء بأنه فرع من الدراسات الرياضية يهتم بالأساليب الإحصائية التي تشتمل على جمع المعلومات و البيانات العددية لظاهرة ما, و تبويبها و عرضها و تنظيمها (جدوليا أو بيانيا) , وتحليلها بشكل يساعد على وصفها أو التعرف عليها , ثم استخلاص النتائج أو عمل استنتاجات إحصائية معينة وذلك لاتخاذ القرارات أو وضع التوصيات المناسبة.
وبناء على ما سبق, نستطيع أن نميز نوعين من الإحصاء:
1- الإحصاء الوصفي : ويختص في جمع المعلومات و البيانات الإحصائية عن مجموعة معينة من الأفراد.
2- الإحصاء الإستنتاجي ( التحليلي ) : ويختص في تحليل و اختبار البيانات الإحصائية المتوفرة من أجل اصدار أحكام أو عمل استنتاجات إحصائية عن تلك المجموعة.
فوائد الإحصاء
يمكن تلخيص بعض فوائد الإحصاء على النحو التالي:
1- يساعد في جمع البيانات و المشاهدات و طرق عرض هذه البيانات و تلخيصها.
مثال : قد نشاهد في أحد المعاهد أو الكليات لوحة بيانية فيها بعض الأعمدة التي تبين أعداد الطلبة المتواجدين في هذا المعهد خلال سنوات دراسية متعددة.
2- يساعد في تحليل البيانات المتوفرة و اتخاذ القرارات في مواجهة العشوائية في الظواهر المختلفة التي تحيط بنا.
مثال: الشعور بظاهرة الإزدحام في السير , فنقرر بعد دراسة إحصائية تحديد إتجاه السير في بعض الشوارع , أو وضع إشارات ضوئية لتنظيم المرور.
3- كذلك فإن الإحصاء يلعب دورا مهما في تخطيط التجارب التي تؤدي إلى جمع المشاهدات و تحليل البيانات.
هذه المقاييس تستخدم لوصف البيانات أو للمقارنة بين عدة مجموعات كذلك بواسطتها يمكن تلخيص أو وصف مئات أو آلاف القيم الإحصائية إلى مقياس واحد ( أو أكثر) , بحيث يمكن إلقاء الضوء على الظواهر أو المجتمعات موضوع البحث.
والآن لنسأل السؤال التالي:
ما المقصود بالمفهومين: النزعة المركزية و المتوسطات؟
للإجابة على هذا السؤال تأمل الجدول التالي والذي يمثل توزيع تكراري لعلامات (60) طالبا في امتحان تحصيلي:
حيث نلاحظ أن عددا كبيرا من علامات الطلبة تتجمع حول نقطة متوسطة في مدى التوزيع ثم يتناقص هذا العدد أو التكرار نحو النقط الأخرى بالتدريج على جانبي التوزيع. وقد اصطلح الإحصائيون على اعتبار ميل أو تراكم معظم المفردات الإحصائية للتمركز حول قيمة معينة بالنزعة المركزية لهذه البيانات , في حين اصطلح على القيمة التي تمثل معظم القيم للتراكم حولها بالقيمة المتوسطة أو المتوسطات وهي في الجدول السابق (27).
وهده المتوسطات هي: 1- الوسط الحسابي 2- الوسيط 3- المنوال
وفيما يلي شرح مبسط عن كل متوسط.
تعريف(1): إذا كان لدينا ( ن) من المشاهدات : س1,س2,.......س ن فإن الوسط الحسابي
لهذه المشاهدات هو : س = س1+س2+........+ س ن
ن
= س ر
مثال: أوجد الوسط الحسابي للعلامات التالية: 30, 15, 21, 10
الحل: س = 30+15+21+10 = 76 = 19
4 4
تعريف (2): إذا كان لدينا توزيع تكراري عدد فئاته ( ك) , وكانت مراكز الفئات :
س1, س2, ...., س ك , وكانت التكرارات المقابلة لها: ت1, ت2, ...., ت ك فإن الوسط الحسابي يكون: س = س1* ت1+ س2* ت2 +...... + س ك* ت ك
ت1+ ت2+ ............ت ك = 1 س ر* س ر
ن
الوسيط لمجموعة من الأعداد المرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا هو العدد الأوسط منها إذا كان عددها فرديا, وهو الوسط الحسابي للعددين الأوسطين إذا كان عددها زوجيا.
تعريف ( 3): إذا كانت س1, س2,.......س ن مجموعة من الأعداد مرتبة تصاعديا أو تنازليا فإن الوسيط لهذه المجموعة هو العدد س (ن+1)/2 إذا كان ن فرديا وهو العدد
1/2(س ن/2 + س(ن+2)/2)
مثال: الوسيط للأعداد : 5, 7, 12, 21, 25, 30, 32, 35, 39
هو العدد ( 25) لأن المجموعة فيها ( 9) أعداد ولذلك فالعدد الذي رقمه ( 5) هو الوسيط .
أما مجموعة الأعداد : 4, 6, 8, 12, 16, 17, 19, 20 فوسيطها هو العدد:
( 12+16)/2 = 14
تعريف ( 4) : الوسيط للتوزيع التكراري هو القيمة التي تكرارها التراكمي ( ن/2)
( وسنوضح هذا في مثال لاحق ).
تعريف ( 5): المنوال هو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها في المفردات الإحصائية , أو القيمة الأكثر تكرارا أو شيوعا ولهذا يطلق عليه أحيانا الشائع أو القيمة الشائعة.
وقد يكون للمجموعة منوال واحد أو منوالان أو قد لا يوجد لها منوال.
مثال ( 1): أوجد المنوال للأعداد التالية: 25, 20, 28, 20, 15, 30.
الحل: بما أن القيمة ( 20) تتكرر أكثر من غيرها و بناء على تعريف المنوال إذن يكون المنوال لهذه المجموعة يساوي ( 20).
مثال ( 2) : ما المنوال لمجموعة الأعداد التالية: 56, 40, 56, 56, 72, 34, 49, 72, 72؟
الحل: يوجد لهذه المجموعة منوالان هما: 56, 72 لأن كلا منهما يتكرر بنفس عدد المرات التي يتكرر فيها الآخر.
مثال ( 3): ما المنوال لمجموعة الأعداد: 21, 16, 24, 9, 84, 38؟
الحل: لا يوجد منوال لهذه المجموعة لأن كلا منها يتكرر مرة واحدة.
مثال( 1)
في التوزيع التكراري التالي:
أ) احسب ما يلي:
1- الوسط الحسابي
2- الوسيط
3- المنوال
ب) مثل التوزيع بالمضلع التكراري.
الحل
أ) 1- لإيجاد الوسط الحسابي نكون الجدول التالي:
2- لإيجاد الوسيط : نكون الجدول التكراري التراكمي التالي:
الحدود الفعلية العليا التكرار التراكمي
1 3
5
8
10
3- لإيجاد المنوال:
المنوال = مركز الفئة الأكثر تكراراً
= مركز الفئة 15ــ19
= 17
ملاحظة: يسمى التوزيع الذي تتساوى فيه قيم الوسط والوسيط والمنوال , توزيعا متماثلا كما في الشكل التالي
مقاييس التشتت
مقدمة:
إن مقاييس النزعة المركزية غير كافية لتحديد صفات التوزيعات التكرارية والبيانات الإحصائية, فربما يكون لدينا ظاهرتان متساويتان في الوسط الحسابي والوسيط إلا أنهما مختلفتان. فمثلاً إذا كانت درجات الحرارة في بلد ما خلال الليل و النهار هي: 22, 28. , 35, 20, 34, 36, 23 فيكون معدل درجات الحرارة 5
وإذا كانت درجات الحرارة في بلد آخر هي: 17, 40, 16, 42, 20, 35 فيكون معدل
28.‚ درجات الحرارة فيها 5
وهذا يعني أن معدل درجات الحرارة في البلدين متساوي
إلا أنه بالنظر إلى مفردات البيانات في كل من البلدين نجد اختلافاً بينهما.وهذا يعني أن الوسط الحسابي لا يكفي لوصف البيانات أو للحكم على تشابهها.
ويقاس التباعد بدرجة انتشار البيانات حول معدل أو وسط , تسمى درجة الإنتشار وكلما كان التغير صغيراً, اعتبرت البيانات متجانسة , وكلما كبر التغير , اعتبرت البيانات متغايرة.
ومن هذه المقاييس: 1- المدى 2- الإنحراف المعياري 3- التباين
وفيما يلي شرح مبسط عن كل واحد من هذه المقاييس.
المدى
تعريف:
يعرف المدى للبيانات بأنه الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة.
ويعرف المدى في التوزيعات التكرارية بأنه الفرق بين الحد الفعلي الأكبر للفئة العليا والحد الفعلي الأصغر للفئة الدنيا.
ويستخدم المدى عادةً لإعطاء فكرة سريعة أولية عن طبيعة توزيع المفردات الإحصائية لأنه يمتاز ببساطته وسهولة حسابه, لكنه لا يعكس أثر جميع المشاهدات لأنه يعتمد على أكبر وأصغر قيمتين فقط.
مثال ( 1) : قيست أطوال فريق لكرة السلة في إحدى المؤسسات التربوية فكانت بالسنتمترات كما يلي: 167, 188, 169, 172, 176. أوجد مدى تشتت أطوال الفريق.
الحل: المدى = القيمة الكبرى ــ القيمة الصغرى
=188ــ167=21سم.
مثال ( 2): التوزيع التالي يمثل أوزاناً إفتراضية ل ( 24) طالباً في إحدى المدارس الثانوية لأقرب كيلوغرام اعتمد عليه في إيجاد مدى تشتت أطوال الطلبة.
فئات الأوزان ( كغم) التكرار
50ــ 54 3
55ــ59 2
60ــ64 5
65ــ69 8
70ــ74 6
[i][b][u][strike]
يمكن تعريف الإحصاء بأنه فرع من الدراسات الرياضية يهتم بالأساليب الإحصائية التي تشتمل على جمع المعلومات و البيانات العددية لظاهرة ما, و تبويبها و عرضها و تنظيمها (جدوليا أو بيانيا) , وتحليلها بشكل يساعد على وصفها أو التعرف عليها , ثم استخلاص النتائج أو عمل استنتاجات إحصائية معينة وذلك لاتخاذ القرارات أو وضع التوصيات المناسبة.
وبناء على ما سبق, نستطيع أن نميز نوعين من الإحصاء:
1- الإحصاء الوصفي : ويختص في جمع المعلومات و البيانات الإحصائية عن مجموعة معينة من الأفراد.
2- الإحصاء الإستنتاجي ( التحليلي ) : ويختص في تحليل و اختبار البيانات الإحصائية المتوفرة من أجل اصدار أحكام أو عمل استنتاجات إحصائية عن تلك المجموعة.
فوائد الإحصاء
يمكن تلخيص بعض فوائد الإحصاء على النحو التالي:
1- يساعد في جمع البيانات و المشاهدات و طرق عرض هذه البيانات و تلخيصها.
مثال : قد نشاهد في أحد المعاهد أو الكليات لوحة بيانية فيها بعض الأعمدة التي تبين أعداد الطلبة المتواجدين في هذا المعهد خلال سنوات دراسية متعددة.
2- يساعد في تحليل البيانات المتوفرة و اتخاذ القرارات في مواجهة العشوائية في الظواهر المختلفة التي تحيط بنا.
مثال: الشعور بظاهرة الإزدحام في السير , فنقرر بعد دراسة إحصائية تحديد إتجاه السير في بعض الشوارع , أو وضع إشارات ضوئية لتنظيم المرور.
3- كذلك فإن الإحصاء يلعب دورا مهما في تخطيط التجارب التي تؤدي إلى جمع المشاهدات و تحليل البيانات.
هذه المقاييس تستخدم لوصف البيانات أو للمقارنة بين عدة مجموعات كذلك بواسطتها يمكن تلخيص أو وصف مئات أو آلاف القيم الإحصائية إلى مقياس واحد ( أو أكثر) , بحيث يمكن إلقاء الضوء على الظواهر أو المجتمعات موضوع البحث.
والآن لنسأل السؤال التالي:
ما المقصود بالمفهومين: النزعة المركزية و المتوسطات؟
للإجابة على هذا السؤال تأمل الجدول التالي والذي يمثل توزيع تكراري لعلامات (60) طالبا في امتحان تحصيلي:
حيث نلاحظ أن عددا كبيرا من علامات الطلبة تتجمع حول نقطة متوسطة في مدى التوزيع ثم يتناقص هذا العدد أو التكرار نحو النقط الأخرى بالتدريج على جانبي التوزيع. وقد اصطلح الإحصائيون على اعتبار ميل أو تراكم معظم المفردات الإحصائية للتمركز حول قيمة معينة بالنزعة المركزية لهذه البيانات , في حين اصطلح على القيمة التي تمثل معظم القيم للتراكم حولها بالقيمة المتوسطة أو المتوسطات وهي في الجدول السابق (27).
وهده المتوسطات هي: 1- الوسط الحسابي 2- الوسيط 3- المنوال
وفيما يلي شرح مبسط عن كل متوسط.
تعريف(1): إذا كان لدينا ( ن) من المشاهدات : س1,س2,.......س ن فإن الوسط الحسابي
لهذه المشاهدات هو : س = س1+س2+........+ س ن
ن
= س ر
مثال: أوجد الوسط الحسابي للعلامات التالية: 30, 15, 21, 10
الحل: س = 30+15+21+10 = 76 = 19
4 4
تعريف (2): إذا كان لدينا توزيع تكراري عدد فئاته ( ك) , وكانت مراكز الفئات :
س1, س2, ...., س ك , وكانت التكرارات المقابلة لها: ت1, ت2, ...., ت ك فإن الوسط الحسابي يكون: س = س1* ت1+ س2* ت2 +...... + س ك* ت ك
ت1+ ت2+ ............ت ك = 1 س ر* س ر
ن
الوسيط لمجموعة من الأعداد المرتبة ترتيبا تصاعديا أو تنازليا هو العدد الأوسط منها إذا كان عددها فرديا, وهو الوسط الحسابي للعددين الأوسطين إذا كان عددها زوجيا.
تعريف ( 3): إذا كانت س1, س2,.......س ن مجموعة من الأعداد مرتبة تصاعديا أو تنازليا فإن الوسيط لهذه المجموعة هو العدد س (ن+1)/2 إذا كان ن فرديا وهو العدد
1/2(س ن/2 + س(ن+2)/2)
مثال: الوسيط للأعداد : 5, 7, 12, 21, 25, 30, 32, 35, 39
هو العدد ( 25) لأن المجموعة فيها ( 9) أعداد ولذلك فالعدد الذي رقمه ( 5) هو الوسيط .
أما مجموعة الأعداد : 4, 6, 8, 12, 16, 17, 19, 20 فوسيطها هو العدد:
( 12+16)/2 = 14
تعريف ( 4) : الوسيط للتوزيع التكراري هو القيمة التي تكرارها التراكمي ( ن/2)
( وسنوضح هذا في مثال لاحق ).
تعريف ( 5): المنوال هو القيمة التي تتكرر أكثر من غيرها في المفردات الإحصائية , أو القيمة الأكثر تكرارا أو شيوعا ولهذا يطلق عليه أحيانا الشائع أو القيمة الشائعة.
وقد يكون للمجموعة منوال واحد أو منوالان أو قد لا يوجد لها منوال.
مثال ( 1): أوجد المنوال للأعداد التالية: 25, 20, 28, 20, 15, 30.
الحل: بما أن القيمة ( 20) تتكرر أكثر من غيرها و بناء على تعريف المنوال إذن يكون المنوال لهذه المجموعة يساوي ( 20).
مثال ( 2) : ما المنوال لمجموعة الأعداد التالية: 56, 40, 56, 56, 72, 34, 49, 72, 72؟
الحل: يوجد لهذه المجموعة منوالان هما: 56, 72 لأن كلا منهما يتكرر بنفس عدد المرات التي يتكرر فيها الآخر.
مثال ( 3): ما المنوال لمجموعة الأعداد: 21, 16, 24, 9, 84, 38؟
الحل: لا يوجد منوال لهذه المجموعة لأن كلا منها يتكرر مرة واحدة.
في التوزيع التكراري التالي:
أ) احسب ما يلي:
1- الوسط الحسابي
2- الوسيط
3- المنوال
ب) مثل التوزيع بالمضلع التكراري.
أ) 1- لإيجاد الوسط الحسابي نكون الجدول التالي:
2- لإيجاد الوسيط : نكون الجدول التكراري التراكمي التالي:
الحدود الفعلية العليا التكرار التراكمي
1 3
5
8
10
المنوال = مركز الفئة الأكثر تكراراً
= مركز الفئة 15ــ19
= 17
ملاحظة: يسمى التوزيع الذي تتساوى فيه قيم الوسط والوسيط والمنوال , توزيعا متماثلا كما في الشكل التالي
مقاييس التشتت
مقدمة:
إن مقاييس النزعة المركزية غير كافية لتحديد صفات التوزيعات التكرارية والبيانات الإحصائية, فربما يكون لدينا ظاهرتان متساويتان في الوسط الحسابي والوسيط إلا أنهما مختلفتان. فمثلاً إذا كانت درجات الحرارة في بلد ما خلال الليل و النهار هي: 22, 28. , 35, 20, 34, 36, 23 فيكون معدل درجات الحرارة 5
وإذا كانت درجات الحرارة في بلد آخر هي: 17, 40, 16, 42, 20, 35 فيكون معدل
28.‚ درجات الحرارة فيها 5
وهذا يعني أن معدل درجات الحرارة في البلدين متساوي
إلا أنه بالنظر إلى مفردات البيانات في كل من البلدين نجد اختلافاً بينهما.وهذا يعني أن الوسط الحسابي لا يكفي لوصف البيانات أو للحكم على تشابهها.
ويقاس التباعد بدرجة انتشار البيانات حول معدل أو وسط , تسمى درجة الإنتشار وكلما كان التغير صغيراً, اعتبرت البيانات متجانسة , وكلما كبر التغير , اعتبرت البيانات متغايرة.
ومن هذه المقاييس: 1- المدى 2- الإنحراف المعياري 3- التباين
وفيما يلي شرح مبسط عن كل واحد من هذه المقاييس.
المدى
تعريف:
يعرف المدى للبيانات بأنه الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة.
ويعرف المدى في التوزيعات التكرارية بأنه الفرق بين الحد الفعلي الأكبر للفئة العليا والحد الفعلي الأصغر للفئة الدنيا.
ويستخدم المدى عادةً لإعطاء فكرة سريعة أولية عن طبيعة توزيع المفردات الإحصائية لأنه يمتاز ببساطته وسهولة حسابه, لكنه لا يعكس أثر جميع المشاهدات لأنه يعتمد على أكبر وأصغر قيمتين فقط.
مثال ( 1) : قيست أطوال فريق لكرة السلة في إحدى المؤسسات التربوية فكانت بالسنتمترات كما يلي: 167, 188, 169, 172, 176. أوجد مدى تشتت أطوال الفريق.
الحل: المدى = القيمة الكبرى ــ القيمة الصغرى
=188ــ167=21سم.
مثال ( 2): التوزيع التالي يمثل أوزاناً إفتراضية ل ( 24) طالباً في إحدى المدارس الثانوية لأقرب كيلوغرام اعتمد عليه في إيجاد مدى تشتت أطوال الطلبة.
فئات الأوزان ( كغم) التكرار
50ــ 54 3
55ــ59 2
60ــ64 5
65ــ69 8
70ــ74 6
[i][b][u][strike]